GAMAR. Gabinet de Materials i de Recerca per la Matemàtica a l'Escola

Problemes

Contacte

Biblioteca del Barri Vell
Pl. Ferrater Mora, 1
17071 Girona

Contacte:

gamar@udg.edu

Horari:

Els dijous de 4 a 2/4 de 8 

(excepte el tercer dijous de cada mes)

Mestra responsable del GAMAR:        

Ester Bosch i Casas

Si el contenido no está traducido, puede usar la herramienta de traducción automática

Materials de Problemes

 

ELS PROBLEMES PX

 

Per problema, o situació problemàtica, entenem una situació nova i molt propera, per a la qual els alumnes no han estat prèviament ensinistrats. Per tant, no és una pura activitat d’aplicació de les nocions apreses, contràriament al que massa sovint se sol considerar.

Un problema sempre ha de plantejar un interrogant, que faci imaginar, pensar, i trobar camins per arribar a una solució possible i no necessàriament única. No es tracta de tenir el domini d’uns recursos i estratègies, que poden aplicar-se més o menys rutinàriament, sinó que caldrà anar-los cercant i descobrint a mesura que es va desenvolupant la resolució del problema.

Per això aquest aprenentatge no s’adquireix com a fruit de la repetició d’una mecànica o d’un sistema, per bons que siguin, sinó per la manipulació, l’anàlisi, el raonament, la descoberta i la interacció amb els companys.

Un problema sempre és un repte per a la ment, perquè requereix l’exercici de la lògica, la imaginació, l’enginy, i la traça de saber adaptar a cada cas els recursos adients i les tècniques conegudes. La major part dels jocs, tot i tenir la seves lleis pròpies, participen plenament d’aquestes característiques. Al mateix temps, els veritables problemes són un joc.

Els problemes se’ns presenten amb una diversitat de formes sorprenent. És impossible fer-ne una bona classificació o tipologia, ja que cada problema ofereix diverses possibilitats segons el punt de vista des del qual es contempli, i així podem dir que la majoria de problemes corresponen a diverses tipologies alhora. Però al mateix temps és convenient que a l’escola els nens i nenes prenguin contacte amb molts tipus diferents de problemes, ja que això els ajuda a fugir de la rutina i a desenvolupar el màxim nombre de capacitats.

És per això que presentem aquí una tipologia o mostra de diferents tipus de problemes, malgrat saber que, tal com hem dit abans, els problemes són inclassificables. L’hem decidit a la nostra manera, i podria ser diferent.

En cada un dels diversos tipus destaquem un aspecte predominant, però cal saber que mai no és l’únic i que tots els problemes pertanyen a diversos tipus simultàniament.

El nostre objectiu és el d’exemplificar el gran ventall de possibilitats i el magnífic potencial educatiu que ens ofereix aquesta activitat matemàtica, i es pot concretar en els objectius següents concrets:

  • Fomentar el desig de descobrir i d’investigar
  • Aprendre a organitzar la informació rebuda
  • Desenvolupar el pensament lògic, l’enginy, i la imaginació
  • Fomentar la capacitat de cercar estratègies adequades i aplicar-les

Aquests objectius són tan fonamentals, que la resolució de problemes podria ser considerada com un eix vertebrador de tot l’aprenentatge de les matemàtiques.

La tipologia que aquí presentem ha estat feta no pas intentant aplicar un sol criteri per explicar una gran diversitat de problemes, sinó intentant resoldre alguns dels interrogants que tots plegats ens plantegem en observar deficiències i necessitats en les nostres escoles.

Finalment hem de dir que per completar la nostra col•lecció caldria afegir-hi els problemes d’estadística i probabilitat, que no hem inclòs en aquell recull per no repetir-nos, ja que formen la major part del contingut de l’apartat de la web anomenat “Probabilitat”.

Com a complement d’aquesta web, podeu trobar més orientacions didàctiques i exemples sobre els problemes en el dossier número 107, dels publicats per l'Associació de Mestres “Rosa Sensat”.

 

 
PROBLEMES VISUALS PX-VI

 

Són aquells en els quals la informació arriba als nens i nenes no pas a través d’un text escrit o d’una frase oral, sinó a través d’una imatge (dibuix, o preferentment, fotografia) que sol anar acompanyada d’una explicació o pregunta oral.

Ajuden els nens i nenes a descobrir i expressar verbalment la relació lògica de causa i efecte que hi ha o pot haver-hi entre diversos objectes (en fotografies) fets o situacions propers, i fases o etapes d’un mateix fet real complex. Per això poden ser considerats com una preparació remota per a la comprensió de tot tipus de problemes i també de les operacions, quan aquestes poden expressar-se en accions concretes.

Són molt adequats per als petits, però també se n’han de proposar de més difícils als nois i noies d’edats més avançades

 

PROBLEMES OBERTS: PX-OB

 

En aquest tipus de problemes, diferenciem dues categories depenent del significat que donem a l'expressió "oberts". Amb un primer significat entenem aquells problemes o situacions que admeten més d’una solució vàlida. Cal remarcar que no es demana una solució numèrica sinó una solució d’un fet o situació, tot i que molt sovint els nombres hi són implicats, però no són l’objectiu prioritari. Una bona part dels problemes que plantegem a la classe haurien de ser així, deixant a cada alumne la llibertat d’interpretar la situació, i exigint només que aquesta sigui molt pensada i amb bona lògica.

El fet que un problema tingui diverses solucions possibles i bones, depèn en gran part de la manera com es formula la pregunta, i cal tenir en compte que és essencial que aquesta possibilitat estigui ben clara en l’ànim dels alumnes; per això sovint convindrà dir-los-ho explícitament.

Pel que fa a la seva realització concreta a l’aula, és aconsellable fer-los sovint de la manera següent:

  • En una primera part del temps, cadascú, o cada grup, pensa la seva estratègia i la seva solució.
  • Després es passa a la posada en comú i discussió de totes les solucions. En aquest moment és molt important saber explicar la pròpia estratègia, i admetre amb respecte les dels altres.
  • Totes les solucions que s’han considerat vàlides (evidentment comptant amb el criteri del mestre) queden escrites a la vista de tots.
  • Finalment cada alumne decideix quina d’elles és la que creu més adequada, i l’escriu en un foli, on també expressa el perquè de la seva decisió.

Els problemes oberts són especialment indicats per fomentar el raonament lògic, tant en el moment de buscar les solucions, com en el moment de discutir entre tots si són solucions lògiques o no. També fomenten en gran manera el treball en grup amb el respecte per les solucions dels altres. Per això representen un nou camí, que ens aporta a tots una gran obertura de pensament. Poden ser una bona ocasió de reforç pel treball de la lògica.

També, amb un segon significat de la paraula, incloem en els problemes “oberts” aquells en els quals proposem directament als alumnes que decideixin ells quins materials, instruments, o mitjans de resolució creuen més convenient utilitzar. Per exemple, el fet de treballar un problema amb material o d’intentar representar-lo, parcialment o total, amb un dibuix o un gràfic pot ser una gran ajuda o fins i tot un camí necessari per a la seva comprensió. Per això convé proposar als alumnes l’ús de diversos mitjans, no només perquè puguin servir-se’n si ho necessiten, sinó sobretot perquè ben aviat arribin a decidir per ells mateixos el mitjà que els sembla més adequat en cada cas. Entre les diferents maneres com els alumnes poden abordar la resolució d’un problema destaca la pràctica del “tempteig”, també dita “de l’assaig i error”.

És molt important que els nois i noies tinguin consciència clara de la seva llibertat d’elecció, tant pel que fa a les situacions que permeten diverses solucions possibles, com pel que fa als mitjans emprats en la resolució dels problemes, i que exercitin aquesta llibertat en tots els casos que sigui possible. Destaquem en especial la llibertat d’emprar la calculadora en els problemes numèrics (excepte en alguns casos especials, en què el mestre pot avisar). Es tracta d’exercir la pròpia autonomia i responsabilitat davant d’una tasca concreta, la iniciativa personal, i també una autèntica comprensió de les relacions i les nocions que intervenen en cada problema.

 

PROBLEMES D’INVESTIGACIÓ: PX-IN

 

Els problemes d’investigació són aquells que, tal com el seu nom indica, tenen com a objectiu desvetllar l’interès per explorar fenòmens. Comencen amb casos senzills que anomenarem “petites investigacions”. Segueixen amb plantejaments de comparació entre les respectives solucions obtingudes en situacions semblants o diferents. I finalment, amb els alumnes més grans, i en casos en què intervé una dada variable, es tracta d’arribar a estudiar i descobrir si existeix una llei general que ens permeti generalitzar els resultats i aplicar-los a casos que ja no podem constatar directament.

Tot i que comencem a tractar-los, en casos molt senzills, ja en els primers cursos, en el seu significat ple són propis dels alumnes més grans, els quals, amb aquests problemes aprenen una primera pràctica investigadora basada en l’experimentació; preparen i comencen el treball de l’àlgebra, i al mateix temps, veuen i valoren la possibilitat d’extrapolar conclusions que té el mètode matemàtic.

 

PROBLEMES DE CREACIÓ PRÒPIA: PX-CP

 

Els problemes d’invenció o creació pròpia, tenen una relació amb els d’investigació i en certa manera els complementen. En primer lloc, perquè fomenten la iniciativa dels nens i nenes, i també perquè fan que pensin en una situació imaginada, hipotètica, que no poden concretar davant seu. Aquests problemes demanen que cadascú inventi un text o enunciat, que inclogui preguntes, adequat a una situació de la qual, els en donem un dibuix com a suggeriment, o bé els presentem per endavant unes condicions que s’han de complir o una solució concreta del problema sense cap condició prèvia.

Aquest tipus de problema és en realitat un veritable exercici de creació, tant de llengua com de matemàtiques.

Al mateix temps, el fet d’haver de pensar quin seria un possible “problema” (o interrogant) ajuda a comprendre millor què és en realitat un problema pendent de solució, quines són les seves parts, i la seva necessària relació amb la vida real.

Voldríem fer constar que tot això requereix, per part dels alumnes, que tinguin una certa experiència prèvia en la resolució de problemes, principalment “oberts”. També cal dir que, en general, als nens i nenes al principi els costa inventar problemes, però generalment, així que s’hi han acostumat una mica, els agrada molt.

 

PROBLEMES MANIPULATIUS: PX-MA

 

Amb aquest nom incloem una col•lecció de problemes que, o bé per la naturalesa de la situació que plantegen, o per la dificultat de l’acció, o simplement per aconseguir més motivació dels alumnes, es presenten ja d’entrada acompanyats d’un petit material manipulable. En realitat, en els problemes, com en els altres aspectes de la matemàtica, sempre hauríem de començar a partir de la manipulació de materials.

No cal dir que aquest tipus de problemes no són pas tots relacionats amb els nombres, sinó que n’hi ha també molts de relacionats amb el raonament lògic, amb la posició a l’espai, amb altres aspectes de geometria, amb la mesura i amb la probabilitat.

Aquest grup de problemes pot ser un testimoni d’allò que a les primeres edats hauríem de fer més sovint amb la majoria de les activitats: facilitar que els nens i nenes puguin experimentar, assajar solucions, i comprendre el significat real d’allò que estan fent. Això no és exclusiu de l’etapa infantil, sinó que és necessari a totes les edats.

 

ENIGMES I JOCS: PX-EJ

 

Són aquells jocs de lògica o situacions, plantejats amb materials, amb imatges o amb text, que es resolen únicament amb el raonament lògic, sense elements numèrics o geomètrics rellevants, tot i que aquests poden intervenir-hi, si s’escau, com a cosa ja coneguda, per posar en marxa el raonament. La solució, que gairebé sempre és única, ha de deduir-se del correcte encadenament de les dades i de les relacions lògiques establertes entre elles.

En els problemes d’aquest tipus, l’objectiu prioritari, i gairebé únic, és desenvolupar les capacitats lògiques dels alumnes. Tenen un important component lúdic, (per això els anomenem “jocs”) i són molt motivadors a totes les edats.

Altres vegades les propostes semblen absurdes o increïbles, i el problema consisteix a descobrir-ne l’explicació, no tant per raonament, com per intuïció i, fins i tot, per bona sort. En aquests casos solem anomenar-los “problemes d’enginy”.

 

PROBLEMES PER TREBALLAR EL TEXT: PX-TE

 

Sovint parlem de les dificultats dels alumnes en la comprensió del text, assenyalant únicament la dificultat que la majoria de nens i nenes tenen en aquest punt, i és cert. Però cal tenir en compte que la comprensió del text d’un problema va més enllà de la comprensió lectora, ja que, a part d’aspectes com el nivell lingüístic general o la capacitat d’atenció, la falta de comprensió del text o “enunciat” (que també pot ser oral) d’un problema té relació amb molts altres aspectes, com són: el grau de desenvolupament de les diverses capacitats lògiques, una base insuficient en els coneixements matemàtics, la falta de memòria o, fins i tot, altres dèficits de maduració personal.

L’objectiu de potenciar el treball sobre el text dels problemes és precisament afavorir el desenvolupament de totes les capacitats abans esmentades. Els problemes d’aquest tipus, al principi, no semblen gaire interessants als alumnes, sobre tot als grans, però finalment són capaços de reconèixer els avantatges de comprendre tot l’enunciat abans d’orientar la línia de solució.

 

PROBLEMES DE COMPRENSIÓ DE L’ESTRUCTURA: PX-ES

 

Aquests problemes es refereixen no pas a la comprensió del text com a tal, sinó a una comprensió encara més en profunditat. El nucli de cada joc o situació problemàtica és allò que constitueix la seva estructura, allò que, segons les lleis de causa i efecte, fa que hi hagi possibilitat o no de deducció correcta d’una solució a partir de les dades que tenim, i que hi hagi unes relacions de subordinació o no d’una part de la situació a una altra.

El que podem anomenar “estructura del problema” és el que determina quin tipus d’accions i operacions (tant físiques com lògiques o numèriques) haurem de fer per intentar desentrellar i resoldre l’interrogant.

Els alumnes, fins i tot quan encara no tenen edat per formular-ho, han d’arribar a captar l’estructura del problema, per identificar on és realment l’interrogant que han de resoldre; és a dir, d’una manera o d’una altra han de sentir quin és el “nus” de la qüestió.

Treballar la comprensió de l’estructura posa plenament en joc les capacitats lògiques de la persona en relació amb una situació concreta plantejada. Per tant, fa créixer la capacitat de raonament, i al mateix temps cultiva l’actitud de voler conèixer les coses a fons i implicar-s’hi.

Treballar la comprensió de l’estructura posa plenament en joc les capacitats lògiques de la persona en relació amb una situació concreta plantejada. Per tant, fa créixer la capacitat de raonament, i al mateix temps cultiva l’actitud de voler conèixer les coses a fons i implicar-s’hi.

 

PROBLEMES DE CÀLCUL: PX-CA

 

Amb aquest nom considerem tots aquells problemes en els quals intervenen directament quantitats i per a la resolució dels quals, per tant, caldrà la realització de relacions o d’operacions numèriques.

La majoria dels problemes que trobem al mercat són de càlcul en general, i malauradament sembla que només tendeixin a fer que els alumnes apliquin les nocions apreses, encertin quina operació cal fer i la resolguin correctament. Tal com hem dit en la presentació general dels problemes, els d’aquestes característiques en realitat són només “exercicis” i no són motivadors ni responen als nostres objectius. En tot cas, sempre podem intentar transferir-los a un context més proper i modificar-ne l’enunciat, i sobretot les preguntes, per convertir-los en problemes més reals i que resultin interessants per als alumnes.

També cal tenir en compte que no és convenient presentar problemes amb un text que faci pensar únicament en les operacions, ni problemes que, amb l’única intenció de fer calcular als alumnes, es refereixin a situacions de la realitat que no són prou conegudes per ells.

Entre els problemes de càlcul n’hi ha de molts tipus diferents: els de càlcul mental, els que proposen intercanvis i equivalències, aquells en què es tracta de trobar un nombre complint unes condicions o “pistes” donades, els que fomenten directament l’estimació de resultats, els que es proposa que es resolguin amb calculadora, els de divisibilitat... i molts més. Aquesta gran varietat també pot ajudar-nos a trencar la rutina de fer problemes sempre iguals.

Cal tenir en compte que l’aspecte numèric sempre ha d’estar supeditat a l’altre aspecte de comprensió lògica de la situació, que és prioritari en tots els problemes.

 

PROBLEMES DE GEOMETRIA: PX-GM

 

Són aquells que es refereixen a elements, relacions o fenòmens de l’espai. Participen de les mateixes característiques i tipologies que els altres problemes, però si els esmentem de manera especial és per posar de manifest la importància de les destreses pròpies, no únicament del càlcul o de la lògica, sinó també de la posició a l’espai i de totes les nocions de la geometria, les quals malauradament solen ser poc tractades en els problemes, i en les matemàtiques en general.

Entre els problemes de geometria, n’hi ha de diferents tipus: aquells en els quals intervenen les propietats topològiques, especialment les que es refereixen a circuits, interseccions i separacions; altres que són de construcció i partició de figures o cossos; alguns que recorden els puzles o altres jocs semblants; aquells en què destaquen el moviment i els canvis de forma; els de transformacions geomètriques, en especial girs i simetries... i molts més.

En la realització d’aquests problemes, és gairebé indispensable plantejar-los amb materials manipulables, encara que també hi ha casos en què es poden resoldre amb dibuixos sobre paper.

Molts es basen en experiències quotidianes, ja que l’espai el tenim sempre envoltant-nos, i això els dóna un caràcter força realista. Alguns tenen les característiques d’una petita investigació.

Afavoreixen la comprensió de l’espai, la solució de moltes situacions de la vida real i també la formació i consolidació de conceptes geomètrics.

 

PROBLEMES DE CÀLCUL I MESURES: PX-CM

 

Anomenem així aquells problemes, que es refereixen a tota la diversitat de mesures que es tracten a l’escola.

No cal dir que, alguns, a primera vista podrien semblar un tipus més entre els problemes de càlcul, perquè aquest molt sovint hi és present. Però, tal com ja hem dit en parlar d’aquells, “l’aspecte numèric sempre ha d’estar supeditat a l’altre aspecte de comprensió de la situació”.

Aquesta comprensió, en el nostre cas, requereix haver treballat prèviament diversos coneixements propis de les mesures, cadascun al nivell proporcionat a l’edat dels alumnes.

Entre aquests coneixements previs a la resolució dels problemes voldríem destacar-ne alguns:

  • Una primera idea, pràctica i intuïtiva, de la magnitud o magnituds a les quals es refereixi el problema. Aquesta pot ser l’única condició en les primeres edats.
  • Un mínim domini de la pràctica de les mesures corresponents.
  • Una primera noció conceptual de les unitats que eventualment s’anomenen, la qual és necessària a totes les edats.
  • El coneixement del sistema d’unitats, si el problema es refereix a unes unitats que ja es donen per sabudes, cosa que és força freqüent.
  • La pràctica numèrica dels canvis entre els ordres d’unitats que s’utilitzen.

Podem afegir que alguns problemes de mesures, poden presentar-se en forma de joc o d’enigma, i llavors, a part del valor que tenen com a activitat que requereix l’enginy i la lògica, poden convertir-se en un al•licient per despertar l’interès de la mainada per algunes nocions de mesura que potser encara no tenien prou assumides.

No cal dir que amb aquest darrer grup de problemes constatem una vegada més que tots els problemes possibles, pertanyen a diversos tipus simultàniament.

 

 Materials: